Logo

Matematiikan opiskelijaryhmä Matrix ry


Helsingin yliopiston matematiikan opiskelijoiden ainejärjestö

Unohditko salasanasi?
Unohditko käyttäjätunnuksesi?
Kurssikuvauksia

Tämä sivu sisältää kuvauksia matematiikan perus- ja aineopintokursseista. Lisää ja tarkempaa tietoa löytyy luonnollisesti kurssien omilta sivuilta. Menneiden vuosien kurssit löytyvät laitoksen sivuilta kaikki kurssit tai vaihtoehtoisesti kyseisen vuoden alta. Vanhoja kokeita löydät omasta tenttiarkistostamme täältä. 
Matemaattisten tiedeiden kandiohjelman tutkintovaatimukset vuoden 2017 tai jälkeen aloittaneille löydät täältä ja matematiikan ja tilastotieteen maisteriohjelman tutkintovaatimukset täältä. (Koskee vain vanhoissa tutkinto-ohjelmissa opiskelevia: Matematiikan tutkintovaatimukset 2014-2016 aloittaneille löydät täältä ja matematiikan aineenopettajan täältä. Kaikille pakollisia ovat perusopintoihin kuuluvat kurssit, mutta yleislinjalaisten ja opettejalinjalaisten pakollisissa matematiikanaineopinnoissa on eroja.) Matematiikan kurssien kurssikuvauksia (Huom kuvauksia päivitään parhaillaan ajankohtaisemmiksi!) Perusopinnot Raja-arvot (5 op) Kurssilla tutustutaan raja-arvon täsmälliseen määritelmään, tutkitaan lukujonoja ja epäyhtälöitä sekä astutaan todistuksien ihmeelliseen maailmaan. Kurssi saattaa vaikuttaa aluksi hyvinkin abstraktilta ja vaikealta ymmärtää, mutta pian huomaat epsilonin olevan suurin ystäväsi. Kurssi luennoidaan I. periodissa ja se on osa neljän analyysin kurssin pakettia matematiikan perusopinnoissa. Oppimateriaalina käytetään Harjulehto, Kléin ja Koskenojan kirjaa Analyysiä reaaliluvuilla, mikä kannattaa hankkia, sillä sitä käytetään muillakin ensimmäisen vuoden analyysin kursseilla. Materiaali on paikoin aika tiivistä, joten luennoilla kannattaa käydä ja vinkkinä kirjan lukemiseen on tehdä se rauhassa kynän ja paperin kanssa. Kurssilla on kahdet laskuharjoitukset viikossa, joissa pääset ryhmässä laskemaan tehtäviä ohjaajan neuvomana ja esittämään ratkaisuja viime kerran tehtäviin. Laskuharjoituksissa kannattaa ehdottomasti käydä, sillä niistä saa lisäpisteitä tenttiin ja ne ovat matalan kynnyksen paikka oppia ratkomaan yhdessä ja esittämään matematiikkaa, molemmat ovat elintärkeitä taitoja matemaatikolle. Laskuharjoituksissa myös tutustuu kurssitovereihin ja voi löytää ystäviä! Differentiaalilaskenta(5 op) Differentiaalilaskenta luennoidaan II. periodissa ja jatkaa siitä mihin Raja-arvot jäi. Kurssilla tuodaan lukiosta tutut käsitteet kuten funktion jatkuvuus ja derivoituvuus matemaattisen täsmälliselle pohjalle hyödyntämällä raja-arvoja. Tarkalle analyysille on tarvetta, sillä nähdään esimerkiksi, että kaikki jatkuvat funktiot eivät ole derivoituvia. Tämän jälkeen näytetään muun muassa derivointisäännöt, sen että jatkuva funktio saa suljetulla välillä suurimman sekä pienimmän arvonsa ja väliarvolauseen. Kurssilla laskuharjoitukset toimivat samalla kuin Raja-arvot kurssilla. Integraalilaskenta (5 op) Jatkoa kurssille Differentiaalilaskenta ja luennoidaan III. periodissa. Syksyllä aloitettu linja tuttujen käsitteiden täsmällisestä määrittelystä jatkuu ja tällä kertaa on integraalin vuoro. Kurssilla paneudutaan Riemannin integraalin käsitteeseen, mietitään derivoinnin ja integroinnin välistä yhteyttä ja tutkitaan funktiojonojen ja epäoleellisten integraalien suppenemista. Kurssilla saadaan myös lisää välineitä integraalien laskemiseen ja integrointitaitosi tulevat käyttöön tosi tarkoituksella. Mikäli ne ovat päässeet hieman unohtumaan niin tässä vaiheessa on hyvä kertailla. Sarjat (5 op) Mitä tarkoittaa summata äärettömän monta lukua yhteen ja milloin näin voi tehdä? Tähän kysymykseen vastaa ”fuksianalyysien” neljäs ja viimeinen kurssi Sarjat. Kurssilla tutkitaan sarjoja, niiden suppenemista sekä suppenemista itsenäisesti ja tasaisesti. Tähän tarkoitukseen kehitetään suppenemistestejä sarjoille. Kurssilla tutustutaan myös potenssisarjoihin ja ideaan, että tarpeeksi sileän funktion voi esittää sarjana sen derivaatoista eli Taylorin sarjoihin. Kurssin laskuharjoitukset toimivat samalla systeemillä kuin Integraalilaskennan. Johdatus yliopistomatematiikkaan (5 op) Johdatus yliopistomatematiikkaan eli tuttavallisemmin JYM on Raja-arvot kurssin kanssa ensimmäisiä yliopistomatematiikan kursseja, joita tulet käymään. Kurssilla käydään myöhemmin tarvittavia perusasioita kuten joukko-oppia ja logiikkaa, ja tutustutaan erilaisiin todistustekniikoihin. Lisäksi kurssilla esitellään kompleksilukuja ja funktioiden ominaisuuksia tarkemmin. Kurssi antaa hyvän työkalupakin myöhempiin matematiikan opintoihin. JYM eroaa muista 5. opintopisteen kursseista sillä, että se kestää koko ensimmäisen syksyn. Kurssilla ei myöskään ole tenttiä vaan läpipääsy ja arvosana määräytyvät tehtyjen tehtävän, pienin loppuprojektin ja opettajan kanssa mietityn itsearvioinnin perusteella. Aineopinnot Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I (5 op) Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I (tuttavallisemmin Linis 1) on analyysin ohella luultavasti ensimmäinen kurssi, jonka yliopistomatematiikassa käyt. Kurssi alkaa mukavilla lineaarisilla yhtälöillä ja -yhtälöryhmillä, esittelee matriisin käsitteen sekä tuo esile hyödyllisiä yhteyksiä näiden välillä. Tämän jälkeen siirrytään matriisit kainalossa tutkimaan vektoriavaruuksia koordinaatteineen.
Kurssin luentomuistiinpanot löytyvät kurssin kotisivulta, mutta ovat ajoittain varsin raskassoutuisia ja mekaanisia, joten luennoilla käynti kannattaa. Prujua on mukavampi lukea luennoitsijan johdolla ennen kuin silmä tottuu matemaattiseen tekstiin. Kurssilla käsitellään luentomonisteen kaksi ensimmäistä lukua, jotka eivät yksinään tarjoa kovinkaan paljon syvällisiä tuloksia, mutta toimivat pohjana jatkona toimivassa Linis II:ssa käsiteltäville asioille. Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II (5 op) Linis II jatkaa siitä, mihin Linis I:ssä jäätiin. Alussa siirrytään vektoriavaruuksista hauskoihin sisätuloavaruuksiin ja esitellään lineaarikuvauksen käsite. Tällöin huomataan edellisestä kurssista tutut matriisit voidaan samastaa lineaarikuvausten kanssa.
Kurssi käyttää samaa luentomonistetta kuin Linis I, ja teksti pysyy edelleen ajoittain hieman raskassoutuisena. Luennoilla tapahtuva purku helpottaa omaksumista, sillä asiaa on edellistä kurssia enemmän ja se voi paikoin olla haastavampaa, mutta luonnollisesti mielenkiintoisempaa ja hyödyllisempää. Topologia I (10 op) Topologia I on omiaan toisen vuoden opiskelijalle. Kurssi järjestetään syksyisin, ja siellä on hyvä päästä tutkimaan matematiikan syvempää olemusta. Wikipediaa lainaten:"Topologia on matematiikan osa-alue, joka käsittelee jatkuvuutta, raja-arvoja, kappaleiden muuttumattomia ominaisuuksia, kun niitä venytetään ja väännellään yms." Kurssilla tutustutaan metrisiin avaruuksiin eli avaruuksiin, joiden pisteiden välille on määritelty jokin tietyt ehdot täyttävä etäisyysfunktio, metriikka. Tällä saadaan määritettyä pisteiden välillä mitä eriskummallisimpia etäisyyksiä, joista suurin osa ei vaikuta lainkaan luonnolliselta. Näin saatava teoria on kuitenkin näin yleisempää kuin arkipäivän etäisyyskäsitteen, euklidisen metriikan, pohjalle rakennettu.
Myöhemmin määritellään analyysin kursseista tuttu jatkuvuuden käsite yleisemmissä metrisissä avaruuksissa ja mm. avoimet ja suljetut joukot, joita pyöritellään kurssin aikana paljon. Myös tärkeään ja hyödylliseen kompaktiuden käsitteeseen törmätään. Ylipäätään moni analyysin tulos saa yleistyksen korkeampiulotteiseen tai muuten vain yleisempään avaruuteen.
Kurssilla on perinteisesti käytetty Limeksen painamaa Jussi Väisälän oppikirjaa, jota on useasti pidetty yhtenä parhaista matematiikan suomenkielisistä oppikirjoista. Kirjaan löytyy korjauksia tekijän kotisivulta. Matematiikan harjoitustyö (2 op) Matematiikan kursseihin liittyvä kaikille pakollinen harjoitustyö, joka suoritetaan toisen opintovuoden syksyllä kurssilla Tieteellinen viestintä. Luonteeltaan se on hieman tavallista laskaritehtävää vaikeampi. Kyseessä on myös hyvä tilaisuus päästä käyttämään matemaattisen tekstin kirjoittamiseen tarkoitettua LateX-ohjelmaa, jonka käytön opettelemiseen tarjotaan keväisin kurssi. Vektorianalyysi (10 op) Kurssien Raja-arvot, Differentiaalilaskenta, Integraalilaskenta ja Sarjat asioita moniulotteisessa avaruudessa. Kurssi pidetään yleensä syksyisin ja suositellaan käytäväksi toisena opiskeluvuotena. Osa asioista on tuttuja Topologia I:stä mutta tunnetusti se, ettei ole opiskellut topologiaa ei ole tekosyy olla osaamatta sitä. Kurssi on pakollinen yleislinjalla, mutta myös opettajalinjalla sen käyminen kannattaa.
Kirjana on Olli Martion kirjoittama Limeksen painama Vektorianalyysi. Kirjasta huomaa, että se on hieman vanha eikä aivan vastaa enää täysin luentojen sisältöä. Mitta ja integraali (6 op) Mitta ja integraali on aineopintojen huipentuma. Kurssilla tutustutaan mittateorian perusteisiin sekä määritellään Lebesguen mitta ja Lebesguen integraali, jonka avulla laskea integraaleja funktioille, joiden Riemannin integraalia ei ole olemassa. Algebralliset rakenteet I (5 op) Algebralliset rakenteet I & II ovat pakollisia opettajalinjan opiskelijoille. Kurssilla määritellään mm. ryhmä ja aliryhmä. Kurssit on hyvä käydä ensimmäisenä tai toisena opiskeluvuotena. Oppimateriaalina toimii Jokke Häsän ja Johanna Rämön kirjoittama kirja "Johdatus abstraktiin algebraan".
Osa kurssin asioista, kuten jaollisuuden yhteydessä käsiteltävä kongruenssin käsite, saattaa olla lukiosta tuttua, mutta nämäkin tiedot kannattaa yrittää sisäistää, sillä jatkokurssilla vaikeusasteen nousu jyrkkenee. Tällöin ensimmäisen kurssin perustietojen tukeva hallinta on suureksi eduksi. Kurssin esitietoina vaaditaan Johdatus yliopistomatematiikkaan, ja Liniksiä suositellaan käydyiksi. Algebralliset rakenteet II (5op) Tällä kurssilla otetaan vähän isompi harppaus algebrallisten rakenteiden uumeniin. Ryhmän määritelmää syvennetään, ja otetaan mukaan käsitteitä, kuten kunta, isomorfismi ja kokonaisalue. Kurssilla jatketaan samaa kirjaa. Logiikka I (10 op) Kurssi lähtee liikkeelle hieman samoista maisemista mitä lukion kurssilla tarkasteltiin. Totuustaulut ja konnektiivit ovat luultavasti useille tuttuja, mutta Logiikka 1:ssä niitä aletaan tutkimaan matemaattisemmassa ympäristössä. Mallin käsite tuodaan esille ja kurssin aikana mm. kirjahyllyn malli, kaupunkiverkon malli sekä perhemalli tulevat esimerkkeinä tutuiksi. Laskareita kannattaa tehdä vielä tavanomaistakin ahkerammin, sillä muodollisten päättelyiden teko ei tahdo onnistua ilman käytännön tuomaa harjoitusta. Mukava käydä milloin vain opiskeluiden aikana. Geometria (10 op) Tasogeometriaa varsinkin opettajaksi opiskeleville, joille kurssi on pakollinen. Kurssimateriaali vaihtelee luennoitsijan mukaan. Kurssi luennoidaan keväisin. Kurssilla unohdetaan kaikki jo tiedetyt käsitykset geometriasta, ja lähdetään rakentamaan geometrista ajattelutapaa täysin alusta. Differentiaaliyhtälöt I (5 op) Syksyn kurssi differentiaaliyhtälöt I kuuluu valinnaisiin aineopintoihin ja paneutuu nimensä mukaisesti differentiaaliyhtälöihin ja niiden ratkaisemiseen. Aluksi lähdetään liikkeelle separoituvista yhtälöistä, joista päästään hieman yleisempiin eksakteihin yhtälöihin. Kurssi käsittää pääasiassa ensimmäisen kertaluvun yhtälöiden eri tyyppejä ja niiden ratkaisemista, kurssin loppupuolella päästään lineaarisiin toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöihin ja niiden ratkaisumenetelmiin. Matemaattisesti kurssilla ei mennä kovinkaan syvälle, vaan pääpaino on perusongelmien ratkaisumenetelmissä, täten kovin raskaita todistuksia ei olemassaolo- ja yksikäsitteisyyslausetta lukuunottamatta esiinny. Kurssin jälkeen esimerkiksi muotoa y´ - y = 0 oleva yhtälö ei ole enää pelottava. Kurssin sisältö vaihtelee melko paljon luennoitsijasta riippuen. Samat perusasiat toki käydään aina, mutta muuten painotukset voivat olla erilaisia.
Kurssi ei vaadi esitietoja yliopistomatematiikasta ja sen voi suorittaa jo ensimmäisenä vuonna, vaikka se on suunnattu enemmänkin toisen vuoden opiskelijoille. Joissakin kurssin kohdissa mainitaan ensimmäisen vuoden opiskelijalle mahdollisesti tuntemattomia asioita, kuten osittaisderivaatat tai eräitä lineaarialgebran tuloksia. Näistä asioista kurssilla vaadittavat tiedot eivät ole kuitenkaan vaikeita materiaalista omaksua eikä niiden pitäisi tuottaa suuria vaikeuksia. Kurssi sopiikin hyvin niille, jotka haluavat suorittaa ensimmäisenä syksynään hieman enemmän kursseja. Differentiaaliyhtälöt II (5 op) Differentiaaliyhtälöt II jatkaa siitä mihin differentiaaliyhtälöt I päättyi. Luennoitsijasta riippuen toisen kertaluvun lineaaristen yhtälöiden ratkaiseminen voi sisältyä kurssiin tai sitten se on käyty ensimmäisessä osassa. Muuten sisältö voi vaihdella huomattavasti. Helpoimmalla pääsee kun käy molemmat kurssit putkeen. Kurssin "luonnollinen" jatke on osittaisdifferentiaaliyhtälöt, joka luennoidaan keväisin ja vaatii ainakin vektorianalyysin esitiedoikseen.
Yleisesti tämäkään kurssi ei ole ylitsevuotavaisen vaikea ensimmäisen vuoden opiskelijalle, sillä vaadittavat esitiedot löytyvät analyysin ja liniksen luentomateriaaleista ja niistä puuttuvat asiat on helppo omaksua kurssin aikana. Yllättäen kurssi voi tarjota tukea linis II:een, sillä monet eräiden differentiaaliyhtälöiden ratkaisemiseen käytettävät menetelmät hyödyntävät lineaarialgebran tuloksia, joiden käyttäminen ehtii tällöin tulla tutuksi ennen kuin niihin liniksessä päästään tutustumaan. Johdatus todennäköisyyslaskentaan (5 op) Kuuluu matematiikan aineopintojen lisäksi myös tilastotieteen aineopintoihin ja on opettajalinjalaisille pakollinen. Perustellaan tarkemmin ja syvennetään lukion todennäköisyyslaskennan tietoja. Pakollinen aineenopettajalle, käytännössä kaikkien kannattaa se käydä. Voidaan sisällyttää myös tilastotieteen sivuainekokonaisuuteen. Johdatus tilastolliseen päättelyyn (5 op) Kuuluu matematiikan aineopintojen lisäksi myös tilastotieteen aineopintoihin. Voidaan sisällyttää myös tilastotieteen sivuainekokonaisuuteen. Ensimmäinen askel tilastotieteen maailmaan, jossa tutustutaan sekä frekventistisen että baysesiläisen päättelyn perusteisiin.